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Due errori comuni di matematica – David Sklansky

David Sklansky – Two Plus Two Magazine, Vol. 9, No. 5

 

Anche se non avete alcuna intenzione di studiare in modo approfondito la statistica, dovreste almeno evitare di commettere un paio di errori largamente diffusi e molto gravi.

Il primo riguarda la probabilita’ che due eventi si verifichino entrambi. L’ altro la probabilita’ che almeno uno di due possibili eventi si verifichi.

La probabilita’ che due eventi si verifichino entrambi si ottiene moltiplicando la probabilita’ che si verifichi il primo evento per la probabilita’ che si verifichi l’ altro. La probabilita’ che si verifichi il secondo evento, tuttavia, assume che il primo evento si sia in effetti verificato.

Ad esempio, la probabilita’ che riceviate due assi nell’ hold’em e’ la probabilta’ che la vostra prima carta sia un asso (4/52 = 1/13) moltiplicata per la probabilita’ che la vostra seconda carta sia un assose lo era la prima carta (3/51 = 1/17). Il risultato e’ 1/221 oppure una possibilita’ su 221. Le odds contro sono 220-a-1.

A volte il secondo evento e’ “indipendente” dal primo evento. Se vi dicessi di pescare una carta da due mazzi separati, la probabilita’ che otteniate due assi diventerebbe ora semplicemente 1/13 x 1/13, oppure 1/169. La seconda probabilita’ rimane in questo caso invariata, indipendentemente dal fatto che la vostra prima carta era un asso.
Ne capite il motivo ?

Quasi tutti i gamblers hanno una vaga idea del dover moltiplicare le probabilita’ dei due eventi in questione per ricavare la probabilita’ che accadano entrambi. Alcuni tuttavia non sanno che la seconda probabilita’ dovrebbe riflettere il fatto che il primo evento si sia gia’ verificato.
Tuttavia non e’ questo l’ errore di cui parlavo. Piuttosto e’ il non comprendere che le probabilita’ e le odds non sono la stessa cosa. Accade quindi che moltiplichino le odds.

Di recente un giocatore di tornei di successo si lamentava di aver subito una bad beat terribile scrivendo che le odds che uscissero due carte specifiche contro di lui (sulla quarta e quinta street) fossero 21.5-a-1 moltiplicate per 43-a-1. Affermava quindi che fossero 924.5-a-1.
In realta’, erano 2/45 x 1/44 = 1/990, oppure 989-a-1.

Quando i numeri sono piu’ piccoli, l’ errore diventa piu’ grave. Le odds di vincere due colpi indipendenti con odds 3-a-1, sono 15-a-1 (1/16), non 9-a-1. Smettete di commettere questo errore !

***

Quando dovete ricavare la probabilita’ che almeno uno di due eventi si verifichi, non potete semplicemente sommare le due probabilita’ individuali. Questo e’ il secondo errore che molti gamblers commettono.

Dieci “vince” due volte non e’ la stessa cosa di venti vince una volta. La probabilita’ di vedere un quattro quando lanciate due dadi non e’ due su sei.
Per comprendere la cosa, pensate a questa domanda : Ci sono 30 bambini nella classe di vostro figlio. Quanti di questi sono maschi oppure hanno i capelli rossi ? Se vi dico che le femmine sono 13 e quattro bambini hanno i capelli rossi, questo non significa che la risposta sia 17.
E’ ovvio perche’ potreste star contando alcuni dei bambini due volte. Ovvero i maschi con i capelli rossi. Per ottenere la risposta corretta dovreste infatti sottrarre il numero di maschi con capelli rossi da 17. Capite ?

La medesima cosa accade per i problemi di statistica. Solo perche’ esiste una probabilita’ di 1/6 di ottenere un quattro da un dado, non significa che esista una probabilita’ di 2/6 di ottenere un quattro da due dadi. Questa cosa porterebbe alla conclusione che la probabilita’ di ottenere un quattro lanciando sei dadi fosse certa. Questo metodo e’ errato perche’ esiste la possibilita’ che un quattro esca su piu’ di un dado.

Il problema e’ analogo a quello dei capelli rossi. Dovete sottrarre la probabilita’, nel caso problema con due dadi, che entrambi i dadi mostrino un quattro. Ovvero 1/36. 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36.

Questa sottrazione non e’ necessaria soltanto quando non e’ possibile che entrambi gli eventi si verifichino. Se gli Yankees hanno il 30% di vincere il campionato, i Dodgers il 20%, ed i Braves il 10%, qual’ e’ la probabilita’ che vincano i Dodgers oppure i Braves ?

In questo caso potete semplicemente sommare 20% a 10% per ottenere il 30%. Il motivo e’ che le due squadre non possono entrambe vincere il campionato. Se vi avessi invece chiesto la probabilita’ che vincano gli Yankees oppure i Dodgers (queste due squadre non giocano nella stessa divisione), avreste dovuto sottrarre la probabilita’ che entrambe vincano. 30% + 20% – 6% = 44%.

Esiste un semplice metodo per risolvere questo genere di problemi che non richiede il calcolo diretto della probabilita’ che entrambi gli eventi si verifichino. E’ il calcolare la probabilita’ che gli eventi non si verifichino e vedere che cosa rimane.
Per ottenere almeno un quattro lanciando due dadi, possiamo notare come la probabilita’ di non ottenere alcun quattro sia 5/6 x 5/6 = 25/36, che ci porta ad avere una probabilita’ di 11/36 che almeno un quattro esca.
Per il problema del baseball, dovreste moltiplicare 70% x 80% e sottrarlo da 100%.
Questa tecnica e’ particolarmente utile quando gli eventi non sono indipendenti. Quando avete un flush draw e mancano due carte da scoprire, pensate alle probabilita’ di mancare il vostro draw due volte. Con 45 carte nel mazzo sarebbe 36/45 x 35/44 = 7/11. Completereste quindi il vostro flush quattro volte su undici.

 

David Sklansky – Two Plus Two Magazine, Vol. 9, No. 5
Fonte : http://www.twoplustwo.com/magazine/issue101/david-sklansky-common-math-errors.php

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