Il gioco è vietato ai minori di anni 18.
Giocare troppo può causare dipendenza patologica.
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Un’ introduzione alla Teoria dei Giochi – Parte 1

La Teoria dei Giochi e’ un ramo della matematica che studia situazioni strategiche nelle quali il successo di un individuo dipende non solo dalle sue scelte ma anche da quelle fatte degli altri.
Ha a che fare con i “giochi”, ma in un contesto piu’ ampio trova anche applicazione nelle scienze economiche e sociali.
La nascita della moderna teoria dei giochi coincide con l’uscita del libro “Theory of Games and Economic Behavior” di John von Neumann e Oskar Morgenstern (1944).

Come per ogni altro ramo della matematica dobbiamo iniziare con qualche definizione, cerchero’ di tenerle il piu’ informale possibile.

Un gioco consiste di :

  1. Un insieme di giocatori;
  2. Uno stato di gioco;
  3. Un insieme di opzioni o possibili mosse a disposizione di ogni giocatore a seconda dello stato;
  4. Una struttura di premi per ogni giocatore a seconda dello stato finale del gioco.

 

Esempio #1 : Roshambo (Morra cinese)

Questo e’ un gioco per due giocatori. Ogni giocatore sceglie un simbolo tra Rock(sasso), Paper(carta), o Scissor(forbice). I due giocatori rivelano entrambi simultaneamente le loro rispettive scelte.
Rock batte Scissors, Scissors batte Paper, Paper batte Rock. Se entrambi i giocatori hanno scelto lo stesso simbolo si ha un pareggio.

Possiamo visualizzare i vari possibili risultati e premi in una matrice come questa :

RPS
R0+
P+0
S+0

Sulla sinistra abbiamo il simbolo del primo giocatore, in alto il simbolo del secondo giocatore, ed i valori all’ interno della matrice indicano il risultato dal punto di vista del primo giocatore.

Dato che il guadagno del giocatore A e’ sempre uguale alla perdita del giocatore B, la somma dei risultati dei due giocatori e’ sempre 0. Parliamo quindi di un gioco con due giocatori e somma zero, che rappresenta un’ importante categoria di giochi.
Esempio #2 : Scacchi

Esempio #3 : Poker a tre carte

Utilizziamo un mazzo di tre carte composto da un asso, un king, e una queen. L’ ordine di forza delle carte e’ il solito : A>K>Q. Due giocatori, A e B, ricevono ognuno una carta. Entrambi i giocatori postano un ante di $1. A parla per primo e puo’ fare check, oppure bettare $1.
Se A fa check, B deve fare check behind. Se A betta, B puo’ foldare o callare. Se B folda, A vince le ante, altrimenti la mano migliore vince il pot.

Come per la morra cinese, anche questo e’ un gioco per due giocatori a somma zero. La differenza sta nel fatto che in questo gioco nessuno dei due giocatori ha una conoscenza completa dello stato di gioco, dato che non possono conoscere la carta del loro avversario. Parliamo quindi di un gioco con “informazioni incomplete”.
Gli scacchi sono un gioco con informazioni complete; La morra cinese non ha uno stato di cui parlare, quindi in qualche modo ogni giocatore sa tutto, ovvero niente.

 

Strategie

Una strategia per un giocatore in un gioco e’ il suo piano di gioco. Dice al giocatore come agire in ogni situazione che si presenta.
Matematicamente parlando, e’ una funzione dallo spazio degli stati di gioco all’ insieme di possibili azioni eseguibili.

Una possibile strategia per il giocatore A nel poker a tre carte potrebbe essere : Raise A, raise K, fold Q.
Una possibile strategia per il giocatore B potrebbe essere : Call A, fold K, call Q.

Date le strategie di entrambi i giocatori, possiamo determinare il risultato per ogni combinazione di carte di partenza :

  • (A,K): A betta, B folda, A vince $1
  • (A,Q): A betta, B calla, A vince $2
  • (K,A): A betta, B calla, B vince $2
  • (K,Q): A betta, B calla, A vince $2
  • (Q,A): A check, B vince $1
  • (Q,K): A check, B vince $1

Quindi nei sei possibili risultati, A vince 1+2-2+2-1-1 = 1. Quindi, in media, il giocatore A vince $.17 per partita.

Un’ espressione piu’ sofisticata per “in media” e’ “expected value” o “EV”. Il significato e’ esattamente lo stesso. Diciamo quindi che date le due strategie per A e B, l’ expected value e’ +$0.17 per A, e -$0.17 per B.

Nella morra cinese esistono soltanto tre strategie disponibili per ogni giocatore : Ovvero scegliere uno dei tre simboli. Se B fosse a conoscenza della strategia di A, potrebbe adattarsi ad essa in modo da batterla ogni volta. Quindi se A scegliesse Rock, B sceglierebbe Paper, e vincerebbe sempre.

In modo simile, nel poker a tre carte, se B fosse a conoscenza della strategia di A, definita in precedenza (raise K+, fold Q), potrebbe elaborare una contro-strategia per massimizzare il suo EV.

Ad esempio, se A fa check, non c’ e’ niente da fare. Se A raisa ha in mano un K o un A, quindi si puo’ foldare Q e K, e callare con un A.
Con questa nuova strategia, guardando nuovamente ai possibili risultati dalla prospettiva di A, si otterrebbe :

  • (A,K): +1
  • (A,Q): +1
  • (K,A): -2
  • (K,Q): +1
  • (Q,A): -1
  • (Q,K): -1

In questo caso il giocatore B vincerebbe $1 in totale, oppure $.17 in media.

Conoscendo la strategia di A, il giocatore B e’ stato in grado di adattarsi. Possiamo quindi dire che B ha exploitato la strategia di A.

Data la strategia di un avversario, una strategia exploitativa e’ una che massimizza il nostro expected value contro quell’ avversario.

Ora, tuttavia, il giocatore A puo’ a sua volta ri-adattarsi. Smettera’ di bettare i K ed iniziera’ a bettare invece le Q. Questo abbassera’ l’ EV di B.

Normalmente non siamo a conoscenza della strategia del nostro avversario, tentiamo quindi di ottimizzare i nostri risultati indipendentemente da quello che l’ avversario fa. In altre parole, assumiamo che il nostro avversario giochi bene.

In modo da semplificare le cose, possiamo determinare alcune caratteristiche che una buona strategia deve avere :

  • B dovrebbe sempre foldare una Q dato che non puo’ battere nulla.
  • B dovrebbe sempre callare con un Ace dato che vincera’ sicuramente.
  • A dovrebbe bettare gli Aces sempre. Se B folda niente e’ perduto, e se B calla vince $1 extra nel confronto con il check.
  • A non dovrebbe mai bettare un K dato che verra’ callato soltanto da un Ace.

Quindi l’ unica situazione interessante si verifica quando A ha in mano una Q, e B ha in mano un K.

  • Se B calla con un K, A non dovrebbe bettare una Q dato che verra’ sempre callata.
  • Se A non betta una Q, significa che bettera’ soltanto un Ace, e quindi B dovrebbe foldare il suo K.
  • Se B folda i K, allora A dovrebbe bluffare con le sue Q dato che vincera’ $1 (contro un K) o perdera’ $2 (contro un Ace), quindi in media perdera’ $.50, mentre facendo check perdera’ certamente $1.
  • Infine, se A betta le Q, allora B dovrebbe callare con un K (rischiando $1 per vincere $3, vincendo la meta’ delle volte).

Quindi se i giocatori si exploitano a vicenda entriamo in una situazione circolare : B calla → A check → B folda → A betta → B calla. La medesima situazione accade anche nella morra cinese.

 

Fonte : http://forumserver.twoplustwo.com/78/micro-stakes-full-ring/cotw-introduction-game-theory-835164/

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