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Un’ introduzione alla Teoria dei Giochi – Parte 2

Seconda parte della traduzione “Un’ introduzione alla Teoria dei Giochi”…

 

Strategie Miste

Quindi nel giocare a Morra Cinese o Poker a tre carte, non possiamo utilizzare sempre la stessa strategia nel giocare contro un giocatore pensante, dato che ci exploitera’. Per questo dobbiamo variare tra diverse strategie.

Se variamo strategia seguendo uno schema prevedibile la situazione non cambia, dato che il nostro avversario sara’ al corrente di quello che staremo facendo. Per questo la nostra unica possibilita’ e’ quella di randomizzare le nostre scelte. Nella Morra Cinese possiamo assegnare diverse probabilita’ alle tre opzioni strategiche disponibili, Rock, Paper, e Scissors.

Assumiamo di giocare Rock la meta’ delle volte, e Paper l’ altra meta’. Se il nostro avversario e’ al corrente della nostra strategia, puo’ giocare sempre Paper, vincendo il 50% delle volte e pareggiando l’ altra meta’. Questo ci mostra che dobbiamo utilizzare tutte le opzioni disponibili. Infatti, se non bilanciamo esattamente le nostre scelte, il nostro avversario potra’ trovare una strategia fissa vincente contro la nostra nel lungo termine (un altro sinonimo di “in media”).
Quindi la nostra unica opzione e’ quella di scegliere ogni opzione con una probabilita’ di 1/3.

Tuttavia questo porta alla situazione paradossale in cui non possiamo perdere, ma non possiamo nemmeno vincere. Non ha importanza quello che fara’ il nostro avversario, saremo sempre break even; Non avra’ opportunita’ di commettere un errore contro di noi.

Questo concetto del variare strategia porta alla seguente definizione :

Una strategia mista e’ una distribuzione di probabilità sull’ insieme delle strategie pure che un giocatore ha a disposizione.

Quindi prima di iniziare la partita scegliamo una strategia con una certa probabilita’ e la manteniamo. (Alcuni potrebbero obiettare che prendiamo decisioni probabilistiche durante la partita, ma puo’ essere dimostrato che questo e’ equivalente allo scegliere una strategia fissa prima dell’ inizio della partita.)

Nel Poker a tre carte, vediamo che la maggior parte delle nostre azioni sono lineari (bet gli Aces, check i Kings, call con gli Aces, fold con le Queens). L’ unica questione in sospeso era, cosa dovrebbe fare il Giocatore A con una Queen, e cosa dovrebbe fare il Giocatore B con un King.
Eseguire la medesima azione tutte le volte ci rendeva exploitabili, quindi entrambi i giocatori devono adottare delle strategie miste se vogliono ottimizzare i loro risultati.

Quindi diciamo che A betta una Queen con una probabilita’ x, e B folda un King con una probabilita’ 7.

  • (A,K) A vince $1 con probabilita’ 7, e vince $2 con probabilita’ (1-y). EV: 2-y
  • (A,Q) A vince $1 EV: 1
  • (K,A) B vince $1 EV: -1
  • (K,Q) A vince $1 EV: 1
  • (Q,A) B vince $2 con probabilita’ x, e 1 con probabilita’ (1-x). EV: -1-x
  • (Q,K) A checks, e B vince $1, con probabilita’ (1-x). A betta e B folda con probabilita’ xy, A vince $1. A betta e B calla con probabilita’ x(1-y), B vince $2. EV: (x-1)+xy+2x(y-1) = x-1 + xy + 2xy – 2x = 3xy -x -1

Complessivamente il risultato atteso e’ :

2-y + 1 – 1 + 1 – 1-x + 3xy – x – 1
= 1 – y – x + 3xy = f(x,y)

Possiamo ora ricavare le frequenze ottimali con qualche calcolo avanzato :

0=d/dx f(x,y) = -1+3y -> y = 1/3
0=d/dy f(x,y) = -1+3x -> x = 1/3

Per cui, per non essere exploitabile, il Giocatore A dovrebbe bettare una Queen un terzo delle volte, ed il Giocatore B dovrebbe foldare un King un terzo delle volte. Notate che 1/3 e’ la frazione del pot che B deve callare; Questa non e’ una coincidenza.

Se uno dei giocatori devia da questa strategia perde immediatamente expected value. In piu’, diventa exploitabile il che lo porta a perdere ancora di piu’. Quindi e’ nel suo miglior interesse continuare ad applicare questa strategia. Questa situazione e’ nota come un equilibrio :

Un insieme di strategie per tutti i giocatori in un gioco e’ un Equilibrio di Nash se nessun giocatore puo’ migliorare il proprio EV modificando unilateralmente la sua strategia.

Una strategia che fa parte di un Equilibrio di Nash e’ detta Game-Theoretically Optimal (GTO).

Teorema (John Nash, 1949) : Se le strategie miste sono consentite, esiste sempre un Equilibrio di Nash.

 

Conclusioni

  • I giochi sono competizioni tra strategie.
  • Il nostro obiettivo e’ di scegliere sempre la strategia che missimizza i nostri risultati medi/expected value/risultati a lungo termine.
  • Se pensiamo di conoscere il modo in cui gioca il nostro avversario possiamo utilizzare strategie exploitative : Sfruttando i leaks di Villain.
  • Se non sappiamo come gioca l’ avversario o sospettiamo sappia come giochiamo e si adatti al nostro gioco, dobbiamo utilizzare una strategia GTO, in modo da assicurarci di non avere leaks.

 

Fonte : http://forumserver.twoplustwo.com/78/micro-stakes-full-ring/cotw-introduction-game-theory-835164/

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