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Una Introduzione alle Statistiche alla base della Varianza – Parte 2

Seconda parte della traduzione “Una Introduzione alle Statistiche alla base della Varianza” …

 

Il problema e’ che non sappiamo con precisione quale sia la nostra winrate reale.

Se giochiamo 100 mani e vinciamo $15, potremmo pensare che la nostra winrate sia $15 ogni 100 mani. Facendo un’ ipotesi simile e’ utile sapere qual e’ la probabilita’ che la nostra winrate reale sia vicina a questa ipotesi. Se siamo a conoscenza della nostra deviazione standard reale, possiamo costruire degli intervalli di confidenza.

Supponiamo che la nostra deviazione standard reale sia $100 per ogni 100 mani.
In questo caso, un intervallo di confidenza del 68% per la nostra winrate reale sarebbe (-$85, +$115), un intervallo di confidenza del 95% sarebbe (-$185, +$215), e cosi’ via (questi intervalli sono molto ampi per via della dimensione insignificante del campione di mani).
Una cosa importante da sottolineare e’ che il livello di confidenza (68%, 95%, etc) NON e’ la probabilita’ che la nostra winrate reale si trovi all’ interno di questo intervallo.
Questo genere di probabilita’ e’ un qualcosa che non possiamo realmente sapere senza fare ipotesi molto piu’ complicate ed avere maggior informazioni di background.
Quello che un intervallo di confidenza del 68% (-$85, +$115) puo’ dirci e’ che se la nostra winrate reale fosse inferiore a -$85 per 100 mani (o sopra +$115 per 100 mani), allora in ogni dato campione di 100 mani avere un risultato tanto buono quanto +$15 (o tanto scadente quanto +$15) occorrerebbe meno del 32% delle volte (100% – 68% = 32%).

 

Calcoli

La deviazione standard dei nostri campioni di 100 mani e’ un qualcosa che converge molto piu’ velocemente di quanto faccia la nostra winrate, e dopo un numero relativamente piccolo di mani (ovviamente si parla ancora di migliaia di mani se vogliamo che sia affidabile) possiamo assumere che il valore della deviazione standard fornito da PokerTracker rappresenti un’ approssimazione molto buona della nostra deviazione standard reale per ogni 100 mani.

Il punto successivo e’ il cercare di ricavare la deviazione standard del nostro intero campione di mani… ad esempio, diciamo di aver giocato 138.200 mani, e che PokerTracker ci dica che la nostra deviazione standard per un campione di 100 mani sia 38.8439 ptBB.
Chi non fosse interessato ai calcoli, puo’ saltare alla parte in grassetto piu’ in basso.

Dato che il nostro campione di 138.200 mani e’ composto dalla somma di 1.382 campioni di 100 mani ciascuno, potrebbe essere intuitivo prendere semplicemente la deviazione standard di 38.8439 ptBB e moltiplicarla per 1.382… purtroppo la deviazione standard non funziona in questo modo.
La varianza dei nostri campioni ha tuttavia questa proprieta’. La varianza e’ (per definizione) il quadrato della deviazione standard.

Quindi la varianza di un campione di 100 mani e’ uguale a (38.8439)^2 = 1508.85 (ptBB^2).
La varianza del nostro intero campione di 138.200 mani e’ quindi uguale a 1382*1508.85 = 2085230 (ptBB^2).
Possiamo quindi prendere la radice quadrata di questo numero per ricavare la deviazione standard del nostro campione di mani : SD = sqrt(2085230) = 1444.03 ptBB.

Dato che misuriamo la nostra winrate in ptBB/100, potrebbe essere utile convertire la deviazione standard del campione di mani nella stessa unita’ di misura. La nostra deviazione standard di 1444.03 ptBB riguarda 138.200 mani, quindi, cambiando l’ unita’ di misura, ricaviamo :
SD = 1444.03 / 1382 = 1.045 ptBB/100.

Per velocizzare i calcoli possiamo ricordare che la deviazione standard (in ptBB) del campione di 138.200 mani e’ uguale alla deviazione standard del campione di 100 mani moltiplicata per la radice quadrata di 1382. Se poi vogliamo che la deviazione standard sia espressa in ptBB/100, basta prendere la deviazione standard del campione di 100 mani e dividerla per la radice quadrata di 1382:

SD = 38.8439 * sqrt(1382) = 1444.03 ptBB
SD = 38.8439 / sqrt(1382) = 1.045 ptBB/100

Abbiamo ora a disposizione tutti gli strumenti necessari per poter valutare con precisione l’ errore nella stima della nostra winrate.
Supponiamo che nel nostro campione di 138.200 mani abbiamo vinto un totale di 4422.4 ptBB, per una winrate di 4422.4 / 1382 = 3.2 ptBB/100.
Abbiamo calcolato che la deviazione standard di questo campione di mani e’ 1.045 ptBB/100, quindi un intervallo di confidenza del 68% per la nostra winrate e’ (3.2 +/- 1.045) ptBB/100, un intervallo di confidenza del 95% e’ (3.2 +/- 2*1.045) ptBB/100, e cosi’ via.
E’ possibile ottenere un intervallo di confidenza del 95% per la vostra winrate reale prendendo la vostra winrate osservata e sommando\sottraendo 2 deviazioni standard ad essa.

Il resto della discussione prevede l’ utilizzo di una tabella della normale standardizzata (http://lilt.ilstu.edu/dasacke/eco148/ZTable.htm).

Se volessimo trovare un intervallo di confidenza del 98%, dovremmo guardare nella tabella di quante deviazioni standard dovremmo discostarci dalla media, in ogni direzione, per includere il 98% della distribuzione normale.
Tipicamente quando troviamo un intervallo di confidenza del 98%, vorremmo che il 2% della distribuzione che non includiamo fosse equamente suddiviso – 1% al vertice ed 1% al fondo.
Andremmo quindi a guardare sulla tabella di quante deviazioni standard sopra la media dobbiamo essere per far si che rimanga soltanto l’ 1% della distribuzione; Ad esempio, troviamo il valore di Z che porta a .99 sulla tabella. Questo valore e’ 2.33 (e -2.33 e’ il valore di Z per cui soltanto l’ 1% della distribuzione normale resta al di sotto di esso), continuando quindi dall’ esempio precedente, un intervallo di confidenza del 98% per la nostra winrate reale e’ (3.2 +/- 2.33*1.045) ptBB/100.

Diamo ora uno sguardo ad un problema simile, vogliamo sapere con quale livello di confidenza potremmo essere certi di essere un giocatore vincente. Vogliamo fondamentalmente sapere quale sarebbe il nostro livello di confidenza nell’ intervallo (0, infinito). Questo equivale al calcolare quanto di una distribuzione normale con media 3.2 e deviazione standard 1.045 si trova al disopra del valore 0.
Per farlo, guardiamo di quante deviazioni standard il valore 0 dista da 3.2 :
(3.2 – 0) / 1.045 = 3.062 SDs.
Utilizzando la tabella, ricaviamo che 3.062 deviazioni standard sotto la media include soltanto lo 0.11% dei dati, abbiamo quindi un livello di confidenza del 99.89% che la nostra winrate reale sia positiva.

Se volessimo trovare il livello di confidenza di un intervallo arbitrario, diciamo (X, Y), utilizzeremmo la medesima procedura : Si utilizza la tabella per ricavare quanto della distribuzione normale ricade al di sotto di X e sopra Y; Se il 10% ricade al di sotto di X ed il 20% al di sopra di Y, allora (X, Y) e’ un intervallo di confidenza del 70% (100% – 10% – 20%).

 

Fonte : http://forumserver.twoplustwo.com/78/micro-stakes-full-ring/primer-statistics-behind-variance-79592/

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